每個平方有限群是平凡的嗎？如果存在一個子集$a\subseteq S$，使

解答動態(tài)

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  似乎每個平方有限群都是平凡的。
  設$G$為平方有限群，子集$a$表示$G$的平方性。對于$G$的任何不可約表示$\pi$，表示$u\upi=\sum\ug\ in A}\pi（g）\in\operatorname{End}V\upi$，其中$V\upi$是表示的向量空間。然后，根據$A$的條件，我們得到$u\pi^2=\sum\ux，y\ in A}\pi（xy）=\sum\ug\ in g}\pi（g）$，如果$\pi$不是平凡的，則為$0$，如果$\pi$是平凡的，則為$\g
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  $。也就是說，如果$\pi$是不平凡的，那么$\u\pi$是冪零的，因此$\operatorname{tr}{tr}u \pi=0.
  P若$\pi$是不平凡的$\pi$是不平凡的，那么$\u\pi$是冪零的，因此$\operatorname{tr}}u\u\pi=0{g{{g\g\g}g\g}g}\FRC其中，$g^g$是$g$的共軛類，$g$，最后一個等式來自這樣一個事實：$\chi\upi$是一個類函數（每個共軛類上的常數）。由于字符集是類函數空間的正交基，因此函數$g\mapsto\frac{\left
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  g^g\cap A\right
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  }{\left
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  g^g\right
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  }$與$\chiu 1$成正比，后者于$g$。特別地，我們可以在$g$中替換$1$，得到
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