球面是否存在連續(xù)的基數(shù)4劃分？

解答動態(tài)

• 

  A
• 

  =n\}$，基數(shù)為$n$的子集集。如果$X$是一個拓撲空間，$X^{{n\}$可以被認為是$X^n$減去擴展對角線的商而得到一個拓撲。
  定義空間$X$的一個連續(xù)的$n$分區(qū)，將$X$劃分成一組基數(shù)$n$，這樣關(guān)聯(lián)的函數(shù)$X\到X^{n\}$，向包含它的分區(qū)的元素發(fā)送$x$是連續(xù)的。我不知道這些是否有標準的符號或術(shù)語。）
  是否存在一個連續(xù)的$4$分區(qū)？
  我的假設(shè)是否定的，因為最明顯的$4$-分區(qū)失敗了。如果我們能找到射影平面${\rm\Bbb RP}^2$的一個$2$分劃（也稱為不動點對合），我們將是黃金分割，因為${\rm\Bbb RP}^2$的每個元素對應(yīng)于球體$S^2$的一對對反極對，但根據(jù)Lefschetz不動點定理，這是不可能的。
  可能有一些簡單的代數(shù)拓撲解決方案，但不幸的是，我在代數(shù)拓撲方面不熟練。
  對于進一步的猜想，我相信$s^2$的大小為$2$mod$4$，在以下意義上：如果從$s^2$中刪除$k$點，那么結(jié)果是連續(xù)的$4$-分區(qū)iff$k\equiv2\pmod{4}$.
  
• 

  設(shè)$X$為流形，假設(shè)$f:X\to X^{n\}$為連續(xù)的$n$-分區(qū)。設(shè)$p:X\to Y$為與$X$分區(qū)相關(guān)聯(lián)的商映射。我聲稱事實上$p$是一張覆蓋圖。（相反地，很容易看出來自一個$n$張覆蓋圖的任何分區(qū)都是連續(xù)的。）
  為了證明這一點，讓$y\在y$中，所以$y=\{x\u 1，\dots，x\u n\}$是$x$的一個$n$元素子集。設(shè)$U\U 1、\dots，U\U n$為$x\U 1、\dots，x\U n$的成對不相交鄰域。然后是$X^{\{n\}}$的一個子集$U$，由集合組成，集合中每個$U\\U i$只包含一個元素，$U$的拓撲結(jié)構(gòu)就是用$\prod U\\U i$標識它的乘積拓撲結(jié)構(gòu)。通過$f$的連續(xù)性，存在$x\U 1$的鄰域$V\U 1\子teq U 1$，使得$f（V\U 1）\subteq U$。將$f$為映射$V\U 1\到U\cong\prod U i$，我們可以將其視為每個$i$的連續(xù)映射$f\U i:V\U 1\到U i$的集合。因為$f$是一個分區(qū)，所以每個$f\ i$都是的。根據(jù)域的不變性（這是我們使用的假設(shè)$X$是流形的一個地方），這意味著$f\u i（V\u 1）$對于每個$i$是的，$f\u i$是$V\u 1\到f\u i（V\u 1）$的同胚。讓我們寫$V\\u i=f\\u i（V\\u 1）$。
  所以，我們有的鄰域$V\\u 1、$x\\u 1、$dots、V\\u n$，以及同胚$f\\u i:V\\u 1\到V\\u i$，這樣我們的分區(qū)就把$\bigcup V\\u i$分成了$\{f\\u 1（x）、f\\u 2（x）、\dots、f\\u n（x）\}$的集合。因此，集合$W=p（V_1）=p（V_2）=\dots=p（V_n）$是$Y$中$p$的鄰域，它被$p$均勻覆蓋，$p^{-1}（W）=\bigcup V_i$和$p$將每個$V_i$映射到$W$同胚。
  特別是在$S^2$的情況下，連續(xù)的$n$分區(qū)將給出一個具有$S^2$的曲面作為$n$覆蓋空間。根據(jù)曲面的分類，這僅適用于$n=1,2$。
  此外，如果對$k$次穿透球體$X$有一個連續(xù)的$n$分區(qū)，這將給出一個$n$片狀覆蓋圖$p:X\到Y(jié)$�？臻g$Y$必須是一個具有有限生成基本群的連通曲面，因此是一個有限類型的曲面（可以顯示它有有限多個端點，并且它的端點緊化是一個閉曲面）。因此$\chi（X）=n\chi（Y）$。因為$\chi（X）=2-k$，這意味著$k$必須是$2$mod$n$。
  
• End