為什么一個指數(shù)函數(shù)最終會比一個二次的

解答動態(tài)

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  舉個例子，比較$2^x$和$x^2$的增長情況。如果$f（x）=2^x$，則$f（2x）=2^{2x}=（2^x）^2$。所以加倍輸入意味著輸出是平方的（！）。相比之下，如果$g（x）=x^2$，則$g（2x）=（2x）^2=4x^2$，因此輸出是原來的四倍。最終，平方比四倍強大得多，因此指數(shù)函數(shù)增長得更快。
  
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  也許仍然是最好的具體例子：$1.0001^x$對$1000x^2$是一個很好的例子。
  你能證明你能找到足夠大的$x
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  0$，使$\frac{1000（x+1）^2}{1000x^2}$的比率變小，比如說，$1.00005$嗎所有$x\ge x\u 0$？這個比率是$（1+\frac{1}{x}）^2$，人們也許可以嘗試解決不等式$1+\frac{1}{x}\le\sqrt{1.00005}$。（使用計算器來計算后者-你得到$x\gex0\大約40000.5$就可以了。）
  現(xiàn)在，從那時起，$1.0001^x$與$1000x^2$相比可能仍然很小，但是只要$x$增加$1$，$1.0001^x$就增加系數(shù)$1.0001$，而$1000x^2$最多增加系數(shù)$1.00005$。因此，他們的商增長了至少$\frac{1.0001}{1.00005}\約1.00005$。即使一開始它很小（接近$x=x\u 0$），商也會成倍增長，很快就會超過$1$.
  （左為練習(xí)：為什么$1.00005^x$最終會比任何常數(shù)都大？可以使用$1.00005^x=（1+0.00005）^x\ge 1+0.00005x$，后者通過歸納推理很容易證明，至少對于自然的$x$，即使數(shù)學(xué)歸納還沒有正式引入。）
  我不知道有什么更簡單的證明，我誠實的意見是，這可能不是在那個層次上適合引入的主題。也許他們有一位雄心勃勃的老師，很遺憾，他不能認同學(xué)生在這一水平上的思維方式，他相信，無論事實多么令人驚奇（指數(shù)總是比多項式增長得快），他們都可以通過引入這一事實的證明來激起更多的驚奇。我預(yù)計結(jié)果會完全相反——孩子們可能會終身推遲數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。（不管多么雄偉，可以說，太平洋中部并不是讓初學(xué)游泳的人去欣賞大海美景的地方。）因此，你最好的策略可能是不做作業(yè)，等著看老師會怎么說。至少你能讓你的孩子從他們和你一起工作時的沮喪中解脫出來，老師最終可能會提出一些徒勞的論點，我們都會接受“在這個階段已經(jīng)足夠好了”，然后繼續(xù)前進。
  
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  也許這比7年級的水平還高，但這是一個系列的擴展給出：
  
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