不等(inequality)

用不等號將兩個解析式連結(jié)起來所成的式子。例2x＋2y≥2xy，sinx≤1，ex＞0 ，2x＜3等 。根據(jù)解析式的也可對不等式分類，不等號兩邊的解析式都是代數(shù)式的不等式，稱為代數(shù)不等式；只要有一邊是超越式，就稱為超越不等式。例如lg(1＋x)＞x是超越不等式。

通常不等式中的數(shù)是實數(shù)，字母也代表實數(shù)，不等式的一般形式為F(x，y，……，z)≤G(x，y，……，z )（其中不等號也可以為＜，≥，＞ 中某一個），兩邊的解析式的公共定義域稱為不等式的定義域，不等式既可以表達一個命題，也可以表示一個問題。

不等式的最基本性質(zhì)有：①如果x＞y，那么y＜x；如果y＜x，那么x＞y；②如果x＞y，y＞z；那么x＞z；③如果x＞y，而z為任意實數(shù)，那么x＋z＞y＋z；④ 如果x＞y，z＞0，那么xz＞yz；⑤如果x＞y，z＜0，那么xz＜yz。

由不等式的基本性質(zhì)出發(fā)，通過邏輯推理，可以論證大量的初等不等式，其中比較有名的有：

柯西不等式：對于2n個任意實數(shù)x1，x2，…，xn和y1，y2，…，yn，恒有（x1y1＋x2y2＋…＋xnyn）2≤（x12＋x22＋…＋xn2）（y12＋y22＋…＋yn2）。

排序不等式：對于兩組有序的實數(shù)x1≤x2≤…≤xn，y1≤y2≤…≤yn，設(shè)yi1，yi2，…，yin是后一組的任意一個排列，記S＝x1yn＋x2yn-1＋…＋xny1，M＝x1yi1＋x2yi2＋…＋xnyin，L＝x1y1＋x2y2＋…＋xnyn，那么恒有S≤M≤L。

根據(jù)不等式的基本性質(zhì)，也可以推出解不等式可遵循的一些同解原理。主要的有：①不等式F（x）＜ G（x）與不等式 G（x）＞F（x）同解。②如果不等式F（x） ＜ G（x）的定義域被解析式H（ x ）的定義域所包含，那么不等式 F（x）＜G（x）與不等式F（x）＋H（x）＜G（x）＋H（x）同解。③如果不等式F（x）＜G（x） 的定義域被解析式H（x）的定義域所包含，并且H（x）＞0，那么不等式F(x)＜G（x）與不等式H（x）F（x）＜H（ x ）G（x） 同解；如果H（x）＜0，那么不等式F（x）＜G（x）與不等式H (x)F（x）＞H（x）G（x）同解。④不等式F（x）G（x）＞0與不等式同解；不等式F（x）G（x）＜0與不等式同解。

不等式分為嚴(yán)格不等式與非嚴(yán)格不等式。一般地，用純粹的大于號、小于號“＞”“＜”連接的不等式稱為嚴(yán)格不等式，用不小于號（大于或等于號）、不大于號（小于或等于號）

“≥”“≤”連接的不等式稱為非嚴(yán)格不等式，或稱廣義不等式。

在一個式子中的數(shù)的關(guān)系,不全是等號,含不等符號的式子，那它就是一個不等式.

如:甲大于乙(甲>乙),就是一個不等式.不等式不一定只有「>」,「0,即A>B.又同理可證:A>C,A>D.所以,A最大.

不等式是不包括等號在內(nèi)的式子比如：（不等號 大于等于號，小于等于號）只要用這些號放在式子里就是不等式咯．．

1.符號：

不等式兩邊都乘以或除以一個負(fù)數(shù)，要改變不等號的方向。

2.確定解集：

比兩個值都大，就比大的還大；

比兩個值都小，就比小的還��；

比大的大，比小的小，無解；

比小的大，比大的小，有解在中間。

三個或三個以上不等式組成的不等式組，可以類推。

3.另外，也可以在數(shù)軸上確定解集：

把每個不等式的解集在數(shù)軸上表示出來，數(shù)軸上的點把數(shù)軸分成若干段，如果數(shù)軸的某一段上面表示解集的線的條數(shù)與不等式的個數(shù)一樣，那么這段就是不等式組的解集。有幾個就要幾個。

1.不等式的基本性質(zhì):

性質(zhì)1:如果a>b,b>c,那么a>c(不等式的傳遞性).

性質(zhì)2:如果a>b,那么a+c>b+c(不等式的可加性).

性質(zhì)3:如果a>b,c>0,那么ac>bc;如果a>b,c<0,那么acb,c>d,那么a+c>b+d.

性質(zhì)5:如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd.

性質(zhì)6:如果a>b>0,n∈N,n>1,那么an>bn,且.

性質(zhì)7:如果a>等于b c>b 那么c大于等于a

例1:判斷下列命題的真假,并說明理由.

若a>b,c=d,則ac2>bd2;(假)

若,則a>b;(真)

若a>b且ab<0,則;(假)

若a若,則a>b;(真)

若|a|b2;(充要條件)

命題A:a命題A:,命題B:0說明:本題要求學(xué)生完成一種規(guī)范的證明或解題過程,在完善解題規(guī)范的過程中完善自身邏輯思維的嚴(yán)密性.

a,b∈R且a>b,比較a3-b3與ab2-a2b的大小.(≥)

說明:強調(diào)在最后一步中,說明等號取到的情況,為今后基本不等式求最值作思維準(zhǔn)備.

例4:設(shè)a>b,n是偶數(shù)且n∈N*,試比較an+bn與an-1b+abn-1的大小.

說明:本例條件是a>b,與正值不等式乘方性質(zhì)相比在于缺少了a,b為正值這一條件,為此我們必須對a,b的取值情況加以分類討論.因為a>b,可由三種情況(1)a>b≥0;(2)a≥0>b;(3)0>a>b.由此得到總有an+bn>an-1b+abn-1.通過本例可以開始滲透分類討論的數(shù)學(xué)思想

幾個重要不等式(二)柯西不等式

，當(dāng)且僅當(dāng)bi=lai (1£i£n)時取等號

柯西不等式的幾種變形形式

1.設(shè)aiÎR,bi>0 (i=1,2,…,n)則，當(dāng)且僅當(dāng)bi=lai (1£i£n)時取等號

2.設(shè)ai,bi同號且不為零(i=1,2,…,n)，則，當(dāng)且僅當(dāng)b1=b2=…=bn時取等

三、排序不等式

設(shè)a1£a2£…£an,b1£b2£…£bn;r1,r2,…,rn是1,2,…,n的任一排列，則有：

a1bn+ a2bn-1+…+ anb1£a1br1+ a2br2+…+ anbrn£ a1b1+ a2b2+…+ anbn

反序和£亂序和£同序和

例1.對a,b,cÎR+,比較a3+b3+c3與a2b+b2c+c2a的大小

解：取兩組數(shù)a,b,c；a2,b2,c2，則有a3+b3+c3³a2b+b2c+c2a

例2.正實數(shù)a1,a2,…,an的任一排列為a1/,a2/,…an/，則有

證明：取兩組數(shù)a1,a2,…,an；

其反序和為，原不等式的左邊為亂序和，有

例3.已知a,b,cÎR+求證：

證明：不妨設(shè)a³b³c>0,則>0且a12³b12³c12>0

則

例4.設(shè)a1,a2,…,an是1,2,…,n的一個排列，求證：

證明：設(shè)b1,b2,…,bn-1是a1,a2,…,an-1的一個排列，且b1<b2<…<bn-1；

c1,c2,…,cn-1是a2,a3,…,an的一個排列,且c1<c2<…<cn-1

則且b1³1,b2³2,…,bn-1³n-1；c1£2,c2£3,…,cn-1£n

利用排序不等式有：

例5.設(shè)a,b,cÎR+,求證：

證明：不妨設(shè)a³b³c,則，a2³b2³c2>0

由排序不等式有：

兩式相加得

又因為：a3³b3³c3>0,

故

兩式相加得

例6.切比雪不等式：若a1£a2£…£an且b1£b2£…£bn,則

a1£a2£…£an且b1³b2³…³bn,則

證明：由排序不等式有：

a1b1+a2b2+…+anbn= a1b1+a2b2+…+anbn

a1b1+a2b2+…+anbn³ a1b2+a2b3+…+anb1

a1b1+a2b2+…+anbn³ a1b3+a2b4+…+anb2

…………………………………………

a1b1+a2b2+…+anbn³ a1bn+a2b1+…+anbn-1

將以上式子相加得：

n(a1b1+a2b2+…+anbn)³ a1(b1+b2+…+bn)+ a2(b1+b2+…+bn)+…+ an(b1+b2+…+bn)

∴

1.不等式的基本性質(zhì):

性質(zhì)1:如果a>b,b>c,那么a>c(不等式的傳遞性).

性質(zhì)2:如果a>b,那么a+c>b+c(不等式的可加性).

性質(zhì)3:如果a>b,c>0,那么ac>bc;如果a>b,c<0,那么acb,c>d,那么a+c>b+d.

性質(zhì)5:如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd.

性質(zhì)6:如果a>b>0,n∈N,n>1,那么an>bn,且.

例1:判斷下列命題的真假,并說明理由.

若a>b,c=d,則ac2>bd2;(假)

若,則a>b;(真)

若a>b且ab<0,則;(假)

若a若,則a>b;(真)

若|a|b2;(充要條件)

命題A:a命題A:,命題B:0說明:本題要求學(xué)生完成一種規(guī)范的證明或解題過程,在完善解題規(guī)范的過程中完善自身邏輯思維的嚴(yán)密性.

a,b∈R且a>b,比較a3-b3與ab2-a2b的大小.(≥)

說明:強調(diào)在最后一步中,說明等號取到的情況,為今后基本不等式求最值作思維準(zhǔn)備.

例4:設(shè)a>b,n是偶數(shù)且n∈N*,試比較an+bn與an-1b+abn-1的大小.

說明:本例條件是a>b,與正值不等式乘方性質(zhì)相比在于缺少了a,b為正值這一條件,為此我們必須對a,b的取值情況加以分類討論.因為a>b,可由三種情況(1)a>b≥0;(2)a≥0>b;(3)0>a>b.由此得到總有an+bn>an-1b+abn-1.通過本例可以開始滲透分類討論的數(shù)學(xué)思想.

不等式分類：

柯西不等式

排序不等式

契比雪夫不等式

琴生不等式

均值不等式-

下面是更多關(guān)于什么是不等式的問答