齊次線性方程組與非齊次的區(qū)別

齊次線性方程組，必有解（零解）

非齊次線性方程組，不一定有解，一定沒有零解

齊次線性方程組和非齊次線性方程組的區(qū)別

齊次線性方程組和非齊次線性方程組的區(qū)別如下：

1.齊次線性方程組：常數(shù)項(xiàng)全部為零的線性方程組。

如果m<n(行數(shù)小于列數(shù),即未知數(shù)的數(shù)量大于所給方程組數(shù)），則齊次線性方程組有非零解。對齊次線性方程組的系數(shù)矩陣施行初等行變換化為階梯型矩陣后，不全為零的行數(shù)r（即矩陣的秩）小于等于m（矩陣的行數(shù)），若m<n，則一定n>r,則其對應(yīng)的階梯型n-r個(gè)自由變元，這個(gè)n-r個(gè)自由變元可取任意取值，從而原方程組有非零解（無窮多個(gè)解）。

2.非齊次線性方程組：常數(shù)項(xiàng)不全為零的線性方程組。

非齊次線性方程組有解的充分必要條件是：系數(shù)矩陣的秩等于增廣矩陣的秩，即rank(A)=rank(A, b)（否則為無解）。有唯一解的充要條件是rank(A)=n。有無窮多解的充要條件是rank(A)<n。（rank(A)表示A的秩）

齊次線性方程是什么？和非齊次的區(qū)別

齊次線性方程組與非齊次線性方程的區(qū)別是？

齊次線性方程組

：

常數(shù)項(xiàng)

全部為零的線性方程組。

非齊次線性方程組

：常數(shù)項(xiàng)不全為零的線性方程組。

齊次線性方程組與非齊次線性方程組解向量性質(zhì)的區(qū)別與聯(lián)系

線性方程組解空間的問題

線性方程組分為齊次線性方程和非齊次方程組。一般n元線性方程組的形式是

寫成矩陣形式就是AX=B,其中A是系數(shù)矩陣（m×n），X與B都是1×m列向量

當(dāng)B=0時(shí)，稱為齊次線性方程。

方程的解存性可以看做是用A的列向量能否表示出列向量B的問題，所以當(dāng)B=0時(shí)，至少有一組解即X=0，稱之平凡解；而當(dāng)A列向量線性無關(guān)時(shí)，僅有零解；線性相關(guān)時(shí)就有無數(shù)組解，但是解空間（向量生成的空間）的維數(shù)就等于X維數(shù)與A的秩的差（n-r，r為A的秩）；解空間的基稱為方程組的基礎(chǔ)解系。

當(dāng)B≠0時(shí)，稱為非齊次線性方程（B=0的齊次方程組稱為與之對應(yīng)的齊次線性方程組）。與齊次方程組不同，它可能沒有解，有解當(dāng)且僅當(dāng)A的秩等于AB合并組成的增廣矩陣的秩，說直白就是A的列向量可以表示出B，或者A的列向量組與增廣矩陣的列向量組等價(jià)。而且有解時(shí)，解向量組的秩也等于X的維數(shù)與A的秩的差。

齊次方程組的解與非齊次方程組的解關(guān)系是：非齊次組的解向量等于齊次組的解+非齊次組的一個(gè)特解；也就是說只要求出齊次組的解空間的一組基礎(chǔ)解系，比如是α1，α2，……，αs，一個(gè)非齊次組的特解比如是X1,，那么非齊次組所有解可以表示為：X=X1+C1α1+C2α2+……+Csα，C1，……，Cs為任意常數(shù)。所以求非齊次組的通解只需求出其一個(gè)特解，再求出對應(yīng)的齊次組的基礎(chǔ)解系即可。

區(qū)別是：齊次組的解可以形成線性空間（不空，至少有0向量，關(guān)于線性運(yùn)算封閉）；非齊次組的解不能形成線性空間，因?yàn)槠浣庀蛄筷P(guān)于線性運(yùn)算不封閉：任何齊次組的解得線性組合還是齊次組的解，但是非齊次組的任意兩個(gè)解其組合一般不再是方程組的解（除非系數(shù)之和為1）而任意兩個(gè)非齊次組的解的差變?yōu)閷��?yīng)的齊次組的解。注意到這一點(diǎn)，就知道，齊次組有基礎(chǔ)解系，而非齊次只有通解，不能稱為基礎(chǔ)解系，因這些解不能生成解空間（線性運(yùn)算不封閉）。